Saludos apreciados estudiantes, nos encontramos por fín en la recta final de este año académico. Quiero hacerles un reconocimiento por haber puesto todo su empeño por adaptarse a esta nueva modalidad educativa, pues ahora tienen más habilidades informáticas que hace un par de meses. Actualmente el ritmo de trabajo es más llevable que al inicio, y todo redunda en una formación complementaria de sus estudios de bachillerato. A todos, quiero invitarlos a dar un cierre de actividades con esta última actividad, con el mayor ánimo, pues ya estamos prácticamente frente a la meta. ¡Los felicito por sus esfuerzos!
NOTA: En esta ocasión será necesario que LAS DOS TAREAS sean entregadas en PDF, porque el tiempo de revisión disponible para mí será muy corto, y ahorraré mucho tiempo al corregir documentos PDF. Si aun no sabes cómo hacerlo, al final de la entrada tienes varias recomendaciones para crear un documento PDF. La presentación del documento en PDF se incluye en la rúbrica de evaluación.
PRESENTACIÓN DEL TEMA
Comencemos por responder algunas interrogantes básicas...
¿Qué son las progresiones?
Las progresiones son sucesiones de números entre los cuales hay una ley de formación constante.
Existen progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
¿Para qué sirven?
Las progresiones sirven para modelar el comportamiento numérico de un fenómeno matemático, a través del modelado de fórmulas. Esto permite conocer valores numéricos resultantes de una tendencia observada.
¿En dónde se aplican?
Las progresiones se aplican en la resolución de problemas matemáticos que representan procesos de la vida humana, de la naturaleza, formación de figuras (naturales o artificiales) y el análisis de señales de telecomunicaciones, entre otras situaciones.
TEORÍA Y EJEMPLOS
Los objetivos de este tema son los siguientes:
- El estudiante estará en capacidad de identificar progresiones, sucesiones y series y sus clasificaciones.
- El estudiantes estará en capacidad de calcular términos enésimos y suma de términos en planteamientos con series aritméticas y geométricas.
En el tema de las progresiones, se debe empezar por algunas definiciones básicas:
- Progresión: Las progresiones son sucesiones de números entre los cuales hay una ley de formación constante.
- Sucesión: es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
- Serie: es la expresión de la suma de los infinitos términos de una sucesión (una aplicación definida sobre los números naturales).
Sabiendo que existes progresiones, sucesiones y series, ahora veamos sus clasificaciones.
Las progresiones básicamente se clasifican en:
- Progresiones "aritméticas"
- Progresiones "geométricas".
- Sucesiones "especiales".
Observa este video para que te hagas una buena idea inicial del tema, esto permitirá comprender mucho mejor de aquí en adelante.
Video tomado de Francisco Sánchez
La explicación del tema está dividida en dos partes:
- Progresiones Aritméticas
- Progresiones Geométricas
Progresiones Aritméticas
Se considera una progresión aritmética a aquella en la que la diferencia de sus términos es constante.
Dentro de las progresiones aritméticas se habla de:
- Sucesiones aritméticas
- Series aritméticas
Sucesiones Aritméticas
Como se mencionó el principio, una sucesión es un conjunto ordenado de números. Ampliando esta definición a la condición aritmética, se declararía lo siguiente:
Una sucesión aritmética es un conjunto ordenado de números, en el cual la diferencia de sus términos es constante.
Veamos un ejemplo:
Observemos el siguiente conjunto ordenado de números:
2, 4, 6, 8, 10, .....
A simple vista, se puede saber que existe una "diferencia" entre cada número y el siguiente, que en este caso es "2".
4 - 2 = 2
6 - 4 = 2
8 - 6 = 2
... etc
Podemos concluir que está presente una "diferencia constante". Esa es la clave para identificar el caso "aritmético".
La representación de los "términos" de una sucesión, se hace mediante la letra "a" y ordenando con sub-índices.
Así, el subíndice indica el número del término al que nos referimos, y an se refiere al "término enésimo", que no es más que un término en particular que queramos determinar.
Series aritméticas
Lo más interesante de las progresiones aritméticas, es el trabajo con las "series" aritméticas.
Sucede que cuando hablamos de serie, ya nos referimos a una expresión matemáticas elaborada, que se representa a través de una fórmula, y pasa de ser una "sucesión" a constituirse en la expresión que "contiene" a esa sucesión.
Ejemplo de serie:
La expresión contiene los siguientes elementos:
Sn: Indica que es una serie.
n: Se refiere al número a evaluar en la serie, y es un número natural.
El símbolo de sumatoria, explica que se trata de todos los términos de la sucesión en cuestión.
En est ejemplo el "4" representa a la "diferencia" d.
Se podría desarrollar esta serie de la siguiente manera:
Partiendo del número "1", se evalúa la serie, como ven en la expresión, 4(1) + 4(2)..... hasta el enésimo término 4(n). Es una serie que no termina, es decir, es infinita.
La serie contiene a la sucesión, pero la serie es la expresión matemática que representa a la sucesión.
Observa el siguiente video, para que comprendas mejor la diferencia entre sucesiones y series.
Video tomado de Profe Bonny
Identificación de una serie aritmética
Usualmente, los planteamientos matemáticos ofrecen una sucesión de números, y piden al estudiante que a partir de ella deduzcan la fórmula de la serie.
Veamos un ejemplo de esto:
Dados los números,
6, 12, 18, 24, 30, ... , identifique qué tipo de serie es y deduzca su expresión matemática.
Lo primero que debemos evaluar es si es una serie "aritmética". Fácilmente, al observar que entre todos los términos existe una "diferencia constante", estamos seguros de estar ante una sucesión aritmética.
La diferencia constantes es de:
12 - 6 = 6 (Lo puedes hacer con cualquier par consecutivo de valores).
Sabiendo que la diferencia (d) es 6,
d = 6
la serie aritmética se puede construir así:
Es posible saber cuánto vale uno de los términos de una serie, si lo deseamos.
En el caso de las sucesiones aritméticas, debemos emplear la siguiente expresión y efectuar el cálculo:
Para poder obtener el enésimo término, es preciso conocer:
- El primer término de la serie (a1)
- El número del término a calcular (n)
Veamos un ejemplo:
se tiene el siguiente conjunto de números,
8, 16, 24, 32, ....
Determine el valor del 6to término de esa sucesión.
Habrán notado que es una sucesión "aritmética" porque nuevamente existe una "diferencia constante" entre los términos.
La diferencia en este caso es de 8.
Conociendo la "diferencia" y el primer término, podemos calcular el 6to término de la sucesión, así
n: 6 (6to término)
d: 8
Para números pequeños, es válido que emplees el atajo de "sumar" los términos hasta llegar al enésimo término deseado, pero esto no es práctico en los casos de números grandes o cuando el enésimo término esta en una posición lejana.
Determinación de la suma de los "n" primeros términos (en una sucesión aritmética)
En ocasiones se desea conocer el valor de los primeros "n" términos de una sucesión, y esto se obtiene aplicando una fórmula específica. En el caso de la sucesión aritmética esa fórmula es la siguiente:
Dados los números,
8, 16, 24, 32, .....
calcular la suma de los primeros 7 términos de esa serie.
Datos:
n: 7
a1: 8
Si aplicamos la fórmula señalada previamente, plantearíamos lo siguiente:
Se debe calcular primero el 7mo término de la sucesión, de la manera que se explicó en el punto anterior...
Sabiendo que el 7mo término vale 56, retomamos el cálculo de la suma de los primeros 7 términos de la sucesión:
Existe una segunda fórmula para realizar el mismo cálculo, que es esta:
Usando esta otra fórmula, el desarrollo del ejemplo anterior sería el siguiente:
Si te das cuenta, hay una importante ventaja en el uso de esta fórmula, no se requiere calcular el valor del 7mo término para saber la suma.
Para resumir todo lo visto sobre el caso de progresiones aritméticas, te invito a ver este video:
Video tomado de Matemáticas unicoos
Pasamos a la segunda mitad del tema...
Progresiones Geométricas
Se considera una progresión geométrica aquella en la que la razón o el cociente entre sus términos es constante.
Dentro de las progresiones geométricas se habla de:
- Sucesiones geométricas
- Series geométricas
Sucesiones Geométricas
Como se mencionó el principio, una sucesión es un conjunto ordenado de números. Ampliando esta definición a la condición geométrica, se declararía lo siguiente:
Una sucesión geométrica es un conjunto ordenado de números, en el cual la razón entre sus términos es constante.
Veamos un ejemplo:
Observemos el siguiente conjunto ordenado de números:
2, 4, 8, 16, 32, .....
A simple vista, se puede overvar que existe una "razón" entre cada número y el siguiente, que en este caso es "2".
4 / 2 = 2
8 / 4 = 2
16 / 8 = 2
... etc
Podemos concluir que está presente una "razón constante". Esa es la clave para identificar el caso "geométrico".
La representación de los "términos" de una sucesión, se hace mediante la letra "a" y ordenando con sub-índices.
Así, el subíndice indica el número del término al que nos referimos, y an se refiere al "término enésimo", que no es más que un término en particular que queramos determinar.
Series geométricas
Lo más interesante de las progresiones geométricas, es el trabajo con las "series" geométricas.
Sucede que cuando hablamos de serie, ya nos referimos a una expresión matemáticas elaborada, que se representa a través de una fórmula, y pasa de ser una "sucesión" a constituirse en la expresión que "contiene" a esa sucesión.
Ejemplo de serie:
La expresión contiene los siguientes elementos:
Sn: Indica que es una serie.
n: Se refiere al número a evaluar en la serie, y es un número natural.
El símbolo de sumatoria, explica que se trata de todos los términos de la sucesión en cuestión.
En este ejemplo, el "3" representa la "razón" r.
Se podría desarrollar esta serie de la siguiente manera:
Fíjate que la serie ha empezado con el número "6" (ese es el primer término), de modo que se evalúa: 6(3)^0 + 6(3)^1 + 6(3)^2 + 6(3)^3 + ... 6(3)^n, quedaría así: 6 + 18 + 54 + 162 + ... Es una serie que no termina, es decir, es infinita.
(^: Este símbolo significa "elevado a la")
De nuevo se hace el comentario, la serie contiene a la sucesión, pero la serie es la expresión matemática que representa a la sucesión.
Identificación de una serie geométrica
Como ya dijimos, los planteamientos matemáticos ofrecen una sucesión de números, y piden al estudiante que a partir de ella deduzcan la fórmula de la serie.
Veamos también un ejemplo de esto:
Dados los números,
4, 16, 64, 256, ... , identifique qué tipo de serie es y deduzca su expresión matemática.
Lo primero que debemos evaluar es si es una serie "aritmética" o "geométrica". Fácilmente, al observar que entre todos los términos existe una "razón constante", estamos seguros de estar ante una sucesión geométrica.
La razón constantes es de:
16 / 4 = 4 (Lo puedes hacer con cualquier par consecutivo de valores).
64 / 16 = 4
256 / 64 = 4
Sabiendo que la razón (r) es 4,
r = 6
la serie geométrica se puede construir así:
y se desarrollaría así:
Es posible saber cuánto vale uno de los términos de una serie, si lo deseamos.
En el caso de las sucesiones geométricas, debemos emplear la siguiente expresión y efectuar el cálculo:
Para poder obtener el enésimo término, es preciso conocer:
- El primer término de la serie (a1)
- El número del término a calcular (n)
Veamos un ejemplo:
se tiene el siguiente conjunto de números,
3, 9, 27, 81, ....
Determine el valor del 6to término de esa sucesión.
Habrán notado que es una sucesión "geométrica" porque nuevamente existe una "razón constante" entre los términos.
La razón en este caso es 3.
Conociendo la "razón" (r) y el primer término (3), podemos calcular el 6to término de la sucesión, así:
n: 6 (6to término)
r: 3
a1: 3
Para números pequeños, es válido que emplees el atajo de "multiplicar" los términos hasta llegar al enésimo término deseado, pero esto no es práctico en los casos de números grandes o cuando el enésimo término esta en una posición lejana.
Determinación de la suma de los "n" primeros términos (en una sucesión geométrica)
En ocasiones se desea conocer el valor de los primeros "n" términos de una sucesión, y esto se obtiene aplicando una fórmula específica. En el caso de la sucesión geométrica esa fórmula es la siguiente:
Dados los números,
2, 4, 8, 16, .....
calcular la suma de los primeros 8 términos de esa serie.
Datos:
n: 8
a1: 2
observando que estamos ante un caso de sucesión geométrica, identificamos la razón, que es
4 / 2 = 2
r = 2
Si aplicamos la fórmula señalada previamente, plantearíamos lo siguiente:
Se debe calcular primero el 8vo término de la sucesión, de la manera que se explicó en el punto anterior...
Sabiendo que el 8vo término vale 256, retomamos el cálculo de la suma de los primeros 8 términos de la sucesión:
De esta manera termina el ejemplo.
Para resumir todo lo visto sobre el caso de progresiones aritméticas, te invito a ver este video:
Video tomado de Matemáticas unicoos
Para repasar todo lo visto en en tema, me gustaría que luego de un descanso, te tomaras el tiempo para ver este otro video que contiene un resumen y ejemplos explicados de cada cosa vista en esta publicación.
Video tomado de Academia Internet
Este video dura casi 30 minutos, por lo que puede ser revisado por partes, ya que se detiene a explicar la mayoría de los puntos señalados en esta entrada.
Les dejo una pregunta: para aplicar la fórmula que determina el enésimo término en una progresión geométrica en el último ejemplo del video, se debe ajustar a calcular el 6to término y no el 5to. ¿por qué?
Para que conozcas unas curiosidades sobre el tema de las series, te dejo este interesante video que explica la imagen de la portada:
LA SERIE DE FIBONACCI
Video tomado de Derivando
Fin de la explicación
COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS Y LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%
(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)
Nota: los ejemplos de los videos no deberán ser considerados para la copia en el cuaderno.
ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)
A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.
Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:
- Año académico.
- Sección.
- Nombre y Apellido del estudiante.
- Número de la asignación (#4). (o Cuaderno #4)
- Fecha de entrega.
Ejercicios:
A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación.
Para cada ejercicio mostrado, se deben realizar las siguientes actividades:
- Identificar el tipo de progresión (aritmética o geométrica)
- Generar la serie correspondiente a la sucesión dada
- Determinar el enésimo término solicitado
- Calcular la suma de los n primeros términos indicados
Ejercicios
- Se presenta un conjunto de datos ordenados de la siguiente manera: 7, 14, 21, 28, .... . Identifique el tipo de progresión. Genere la serie correspondiente a esta sucesión de números dada. Determine el 12avo término de esta sucesión. Calcule la suma de los primeros 15 términos de esta sucesión.
- Se presenta un conjunto de datos ordenados de la siguiente manera: 12, 24, 36, 48, .... . Identifique el tipo de progresión. Genere la serie correspondiente a esta sucesión de números dada. Determine el 10mo término de esta sucesión. Calcule la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión.
- Se presenta un conjunto de datos ordenados de la siguiente manera: 7, 35, 175, 875, .... . Identifique el tipo de progresión. Genere la serie correspondiente a esta sucesión de números dada. Determine el 8vo término de esta sucesión. Calcule la suma de los primeros 10 términos de esta sucesión
CONDICIONES DE EVALUACIÓN
Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.
Rúbrica de Evaluación
Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el cuaderno"
- Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
- Debe llevar los datos solicitados en la portada.
- La asignación debe ser fotografiada convertida a formato PDF y enviada al docente únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
- Se deben transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
- Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
- Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
- Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
- JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
- Camscanner (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
- I LOVE PDF (Iphone) <Descarga aquí>
- Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.
Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:
- Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
- Para la asignación es hasta el 15 de junio (Todo el día)
- Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 16 de junio (Todo el día)
- Esta vez se han estrechado los lapsos de recepción para iniciar de inmediato con la corrección, ya que las notas se entregarán a la coordinación de evaluación la semana que sigue.
- IMPORTANTE: Al enviar los 2 correos, deben señalar los datos del estudiante:
- Nombre y Apellido
- Año y Sección
- Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
- Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del grupo de estudiantes y por secciones separadas.
- El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación.
- Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.
Enviar al correo electrónico:
ernestovaquero@gmail.com
Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación.
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¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!
M.Sc. Ernesto Vaquero
Matemáticas UEP Kalil Gibrán
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