Bienvenidos, esta entrada está dedicada a un nuevo conocimiento matemático, a través del cual se pueden explicar situaciones no tenían solución en base a los conocimientos acumulados hasta este momento.
En esta ocasión, la entrada ha incorporado algunas estrategias nuevas, por lo que se pide al lector que revise todo lo escrito hasta el final de la publicación. Se han implementado mejoras y a los representantes y estudiantes se les ha dejado una nota especial al final de la entrada.
PRESENTACIÓN DEL TEMA
Antes de entrar de lleno al tema de los números complejos, me gustaría que revisaras algunas interrogantes y sus respuestas...
¿Qué son los números complejos?
Los Números Complejos (C) son un "conjunto" resultante de extender al conjunto de los Números Reales (R). El conjunto de los números reales está contenido en el de los complejos.
Un número complejo tiene dos partes: una "real" y otra "imaginaria".
¿Para qué sirven los números complejos?
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo, entre otras de gran importancia. (wikipedia)
¿Cuál es la aplicación real de los números complejos?
Los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. (wikipedia)
Ahora, verás un planteamiento que te va a generar una importante inquietud, el cual resolveremos al entrar a la sección de Teoría y Ejemplos:
Observa la expresión siguiente y piensa en su posible solución...
¿Tienes las respuestas? Anótalas en una hoja aparte.
Ahora observa esta otra expresión y vuelve a buscar sus posibles soluciones:
¿Cuánto vale X?
¿Tienes las soluciones?, ¿qué ha pasado?
Con los actuales conocimientos de matemáticas podríamos hacer el siguiente análisis:
Sin embargo, es posible darle una solución a ese planteamiento, si empleamos los nuevos conocimientos sobre números complejos, ¡veamos cómo!
Nota: Serán de gran utilidad los conocimientos previos de:
- Vectores
- Fracciones
- Conjugación (Radicales y factorización)
TEORÍA Y EJEMPLOS
Partiendo de las nociones iniciales, vamos a explicar de manera más amplia los números complejos.
Desde un principio se han estado aprendiendo los conjuntos numéricos, empezando por los naturales (N), luego los enteros (Z), después los racionales (Q), siguiendo con los reales (R), y ahora se incorporan los complejos (C).en el siguiente esquema se muestra, cómo los diferentes conjuntos se van incorporando para formar conjuntos más amplios, hasta llegar al de los complejos.
Estructura general de los Conjuntos
Observa que el conjunto más grande y que contiene a todos los demás es el de los números complejos.
La pregunta siguiente es: ¿qué se le agrega a los números reales para completar a los complejos?
Respuesta: Los números imaginarios.
Ahora, es necesario definir la unidad imaginaria.Definición del número complejo
Para dar entrada a los números imaginarios, en su momento los matemáticos definieron lo siguiente:
A esta expresión la denominaremos "definición del número imaginario".De ella deriva el siguiente análisis:
Aplicando la raíz cuadrada para despejar la "i", obtenemos
A esta última expresión se le denomina unidad imaginaria.
Veamos su aplicación:
Vamos a retomar el desarrollo de la segunda expresión del principio de la entrada:
Utilizando propiedades de los radicales, una multiplicación dentro de una raíz se puede transformar en la multiplicación de dos o más raíces, en este caso convenientemente dos:
Calculando la raíz de 4, y reconociendo la nueva expresión de la unidad imaginaria, llegamos a la siguiente respuesta:
Como puedes observar, ¡ahora sí tiene solución esa expresión!
Ya que conociste cómo se maneja la expresión de la unidad imaginaria, vamos a pasar a explicar la expresión de un número complejo.
En el conjunto de los número complejos, un valor se compone de dos partes:
- Una parte real (Re)
- Una parte imaginaria (Im)
Y su expresión de la "forma binómica" es la siguiente:
Los elementos de esa expresión se definen así:
z: representa al número complejo a: representa a la parte real del número complejob: representa a la parte imaginaria del número complejoi: es la unidad imaginaria (y por esto acompaña a b)
Ejemplo de expresiones de números complejos:
De los ejemplos anteriores se puede decir que, - Tanto la parte real como la imaginaria pueden tomar valores positivos y negativos.
- Si la parte imaginaria vale i, significa que su coeficiente es un 1. (Ejemplo #4)
- Si una de las partes del número complejo no está presente (real o imaginaria), significa que el valor de esa parte es 0. (Ejemplos #6 y #7)
Representación gráfica de un número complejo
Como el número complejo está compuesto de dos partes (real e imaginaria), es posible graficarlo como se hace con las coordenadas (X,Y). Con unos pequeños ajustes en la expresión del plano cartesiano, se construye el "plano complejo". Lo que hay que cambiar es:- La X se reemplaza por la parte real (Re)
- La Y se reemplaza por la parte imaginaria (Im)
El resto se maneja de la misma manera de siempre.
Veamos el plano complejo.
Plano Complejo
Acá se observa la representación del número complejo (en su forma binómica), ubicando a en el eje real y b en el eje imaginario.
Si representamos todos los números complejos del listado mencionado anteriormente, se vería de la siguiente manera:
Representación de números complejos
Operaciones con números complejos
Luego de haber conocido los fundamentos de la presentación de los números complejos, ahora podemos empezar a descubrir las operaciones básicas.
Es una ventaja tener conocimientos sobre el tema de vectores, ya que muchas de sus propiedades se aplican en las operaciones básicas de números complejos (suma y resta).
Veamos cómo,
Suma de números complejos.
Para sumar los números complejos, se procede a sumar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
Dados los número complejos:
La suma de estos números se efectúa de la siguiente manera:
Se suman las partes reales entre sí y se suman las partes imaginarias entre sí.
Esto se aprecia mejor con un ejemplo:
Dados los números,
Realizar la suma de los mismos.
Procedimiento
Como se puede apreciar, el procedimiento es similar al trabajo con vectores (pero no significa que los número complejos sean vectores).
Veamos otro ejemplo,
Realiza la suma de los siguiente números:
Para reforzar, se dejan al estudiante en este espacio dos ejercicios más a resolver en su cuaderno, (deben ser colocados justo después de los ejemplos).
Ejercicios.
Dados los siguientes números,realizar las correspondientes sumas:
Resta de números complejos
Para restar los números complejos, se procede a restar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
Dados los número complejos:
La resta de estos números se efectúa de la siguiente manera:
Se restan las partes reales entre sí y se restan las partes imaginarias entre sí.
Esto se aprecia mejor con un ejemplo:
Dados los números, efectuar la resta.
Una observación que siempre hay que hacer es estar pendiente con la multiplicación de signos en las restas.
Otro ejemplo.
Nuevamente se pide al estudiante ser cuidadoso y observador con las operaciones y con los signos.
Puedes observar un video que explica la suma y la resta de números complejos con un ejemplo a continuación:
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Ejercicios a desarrollar en el cuaderno:
Efectuar las restas señaladas con los siguientes números complejos,
Multiplicación de números complejos
Para comprender la multiplicación, es necesario hacer una explicación previa sobre el uso de la unidad imaginaria i.
Cuando se presenta la multiplicación i x i, lo que está ocurriendo es lo siguiente:
En conclusión,
Si a eso le agregamos un coeficiente antes de multiplicarlos, quedaría así,
Ejemplo:
Teniendo esto en cuenta, vamos a ver cómo se realizan las multiplicaciones.
Dados los números:
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, el procedimiento se desarrolla así,
Esta última expresión puede ser tomada como una fórmula fija para multiplicar.
Veamos esto en un ejemplo,
Dados los número 
Realice la multiplicación de los mismos.
Otro ejemplo.
Dados los números
Realice la multiplicación de los mismos
Si aún deseas ampliar la explicación, puedes ver el siguiente video,
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Queda al estudiante la resolución de los siguientes ejercicios:
dados los siguientes números
Efectúe las siguientes multiplicaciones
División de números complejos
Para realizar esta operación se requiere manejar la expresión del "conjugado".
El conjugado es una expresión que se aplica a un binomio, y el resultado de su uso es el cambio en el signo del segundo término.
Veamos un ejemplo.
Dada la expresión 
Tomando las consideraciones anteriores, las expresión conjugada correspondiente será similar, cambiando el signo del término imaginario.
Varios ejemplos de la expresión conjugada:
Bien , vayamos a la división.
Para dividir dos número complejos, el planteamiento inicial sería el siguiente:
Dados los números
La división se plantea así:
El siguiente paso consiste en multiplicar arriba y abajo por la conjugada del denominador,
Siguiendo los pasos de la multiplicación, el procedimiento continúa así,
Ahora veamos trabajar la división con un ejemplo.
Dados los números
Efectuar la división Z1/Z2
El planteamiento inicial es el siguiente:
Luego se multiplica arriba y abajo por la conjugada del denominador (Z2)
Juntando los dos resultados parciales tenemos,
La última expresión, solo se escribe en dos fracciones de igual denominador para poder expresar por separado la parte real de la imaginaria.
Para ampliar la explicación, puedes mirar el siguiente video con un ejemplo de división,
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Para reforzar, deberás realizar los siguientes ejercicios:Dados los números
Efectuar las siguientes operaciones:
Nota: Al final de la entrada se muestran las soluciones a todos los ejercicios propuestos, para que puedas verificar si los has resuelto correctamente.
Calculando la raíz de 4, y reconociendo la nueva expresión de la unidad imaginaria, llegamos a la siguiente respuesta:
Como puedes observar, ¡ahora sí tiene solución esa expresión!
Ya que conociste cómo se maneja la expresión de la unidad imaginaria, vamos a pasar a explicar la expresión de un número complejo.
En el conjunto de los número complejos, un valor se compone de dos partes:
- Una parte real (Re)
- Una parte imaginaria (Im)
Y su expresión de la "forma binómica" es la siguiente:
Los elementos de esa expresión se definen así:
z: representa al número complejo
a: representa a la parte real del número complejo
b: representa a la parte imaginaria del número complejo
i: es la unidad imaginaria (y por esto acompaña a b)
Ejemplo de expresiones de números complejos:
De los ejemplos anteriores se puede decir que,
- Tanto la parte real como la imaginaria pueden tomar valores positivos y negativos.
- Si la parte imaginaria vale i, significa que su coeficiente es un 1. (Ejemplo #4)
- Si una de las partes del número complejo no está presente (real o imaginaria), significa que el valor de esa parte es 0. (Ejemplos #6 y #7)
Representación gráfica de un número complejo
Como el número complejo está compuesto de dos partes (real e imaginaria), es posible graficarlo como se hace con las coordenadas (X,Y). Con unos pequeños ajustes en la expresión del plano cartesiano, se construye el "plano complejo". Lo que hay que cambiar es:
- La X se reemplaza por la parte real (Re)
- La Y se reemplaza por la parte imaginaria (Im)
El resto se maneja de la misma manera de siempre.
Veamos el plano complejo.
Plano Complejo
Acá se observa la representación del número complejo (en su forma binómica), ubicando a en el eje real y b en el eje imaginario.
Si representamos todos los números complejos del listado mencionado anteriormente, se vería de la siguiente manera:
Operaciones con números complejos
Luego de haber conocido los fundamentos de la presentación de los números complejos, ahora podemos empezar a descubrir las operaciones básicas.
Es una ventaja tener conocimientos sobre el tema de vectores, ya que muchas de sus propiedades se aplican en las operaciones básicas de números complejos (suma y resta).
Veamos cómo,
Suma de números complejos.
Para sumar los números complejos, se procede a sumar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
Dados los número complejos:
La suma de estos números se efectúa de la siguiente manera:
Se suman las partes reales entre sí y se suman las partes imaginarias entre sí.
Esto se aprecia mejor con un ejemplo:
Dados los números,
Realizar la suma de los mismos.
Procedimiento
Como se puede apreciar, el procedimiento es similar al trabajo con vectores (pero no significa que los número complejos sean vectores).
Veamos otro ejemplo,
Realiza la suma de los siguiente números:
Para reforzar, se dejan al estudiante en este espacio dos ejercicios más a resolver en su cuaderno, (deben ser colocados justo después de los ejemplos).
Ejercicios.
Dados los siguientes números,realizar las correspondientes sumas:
Para restar los números complejos, se procede a restar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
Dados los número complejos:
La resta de estos números se efectúa de la siguiente manera:
Se restan las partes reales entre sí y se restan las partes imaginarias entre sí.
Esto se aprecia mejor con un ejemplo:
Dados los números, efectuar la resta.
Una observación que siempre hay que hacer es estar pendiente con la multiplicación de signos en las restas.
Otro ejemplo.
Nuevamente se pide al estudiante ser cuidadoso y observador con las operaciones y con los signos.
Puedes observar un video que explica la suma y la resta de números complejos con un ejemplo a continuación:
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Ejercicios a desarrollar en el cuaderno:
Efectuar las restas señaladas con los siguientes números complejos,
Multiplicación de números complejos
Para comprender la multiplicación, es necesario hacer una explicación previa sobre el uso de la unidad imaginaria i.
Cuando se presenta la multiplicación i x i, lo que está ocurriendo es lo siguiente:
En conclusión,
Ejemplo:
Teniendo esto en cuenta, vamos a ver cómo se realizan las multiplicaciones.
Dados los números:
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, el procedimiento se desarrolla así,
Esta última expresión puede ser tomada como una fórmula fija para multiplicar.
Veamos esto en un ejemplo,
Dados los número
Realice la multiplicación de los mismos.
Otro ejemplo.
Dados los números
Realice la multiplicación de los mismos
Si aún deseas ampliar la explicación, puedes ver el siguiente video,
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Queda al estudiante la resolución de los siguientes ejercicios:
dados los siguientes números
Efectúe las siguientes multiplicaciones
División de números complejos
Para realizar esta operación se requiere manejar la expresión del "conjugado".
El conjugado es una expresión que se aplica a un binomio, y el resultado de su uso es el cambio en el signo del segundo término.
Veamos un ejemplo.
Dada la expresión
Tomando las consideraciones anteriores, las expresión conjugada correspondiente será similar, cambiando el signo del término imaginario.
Varios ejemplos de la expresión conjugada:
Bien , vayamos a la división.
Para dividir dos número complejos, el planteamiento inicial sería el siguiente:
Dados los números
La división se plantea así:
El siguiente paso consiste en multiplicar arriba y abajo por la conjugada del denominador,
Ahora veamos trabajar la división con un ejemplo.
Dados los números
Efectuar la división Z1/Z2
Juntando los dos resultados parciales tenemos,
Para ampliar la explicación, puedes mirar el siguiente video con un ejemplo de división,
Video tomado de Matemáticas profe Alex
Para reforzar, deberás realizar los siguientes ejercicios:
Dados los números
Efectuar las siguientes operaciones:
Nota: Al final de la entrada se muestran las soluciones a todos los ejercicios propuestos, para que puedas verificar si los has resuelto correctamente.
Fin de la explicación.
COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%
(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)
ASIGNACIÓN (VALOR: 20%)
A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.
Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:
- Año académico.
- Sección.
- Nombre y Apellido del estudiante.
- Número de la asignación (#3). (o Cuaderno #3)
- Fecha de entrega.
Ejercicios:
A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación:
Con los datos suministrados, efectúe cada una de las siguientes actividades:
1.- Represente gráficamente todos los números desde Z1 hasta Z6 en un plano complejo correctamente identificado.
2.- Efectúe la operación: Z1 + Z2
3.- Efectúe la operación: Z2 - Z3
4.- Efectúe la operación: Z3 x Z4
5.- Efectúe la operación: Z4 / Z1
CONDICIONES DE EVALUACIÓN
Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.
Rúbrica de Evaluación
| Aspecto | Construcción del Plano y graficación | Desarrollo del ejercicio | Resultados Correctos | Total |
| Descripción | El estudiante elabora correctamente el plano complejo con todos sus detalles. Y representa correctamente todos los números señalados. El Plano (2), los números(6) | El estudiante desarrolla cada ejercicio con el procedimiento mostrado en la explicación | El estudiante obtiene el resultado correcto en cada ejercicio desarrollado | Suma de los parámetros |
| Valor | 8 | 6 | 6 | 20 |
Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el cuaderno"
Nuevamente, se han actualizado las indicaciones con el propósito de seguir mejorando las condiciones de envío y evaluación de las tareas.
- Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
- Debe llevar los datos solicitados en la portada.
- La asignación debe ser fotografiada y enviada al docente únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
- Se recomienda transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
- Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
- Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
- Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
- JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
- Camscanner (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
- Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.
Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:
- Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
- Para la asignación es hasta el 01-02 de junio (Todo el día)
- Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 04 y 05 de junio (Todo el día)
- IMPORTANTE: Al enviar el correo, deben señalar los datos del estudiante:
- Nombre y Apellido
- Año y Sección
- Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
- Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los estudiantes y por secciones separadas.
- El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación.
- Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.
Enviar al correo electrónico:
ernestovaquero@gmail.com
Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación.
RECURSOS ADICIONALES
- Puedes ver un video con la explicación de la conjugada aquí. (Matemáticas Profe Alex)
Respuesta a los ejercicios planteados
Las respuesta de los ejercicios de práctica son las siguientes:
Ejercicios de suma
(10-5i)+(-4-15i)= 6-20i
(-3+9i)+(10-5i)= 7+4i
Ejercicios de resta
(10-5i)-(-4-15i)= 14+10i
(-3+9i)-(10-5i)= -13+14i
Ejercicios multiplicación
(-3+4i)(-5-7i)= 43+i
(8+6i)(10-2i)= 92+44i
Ejercicios de división
(5-2i)/(7+3i)= (1/2)-(1/2)i
(7+3i)/(2-6i)= -(1/(10))+(6/5)i
Nota Especial a los Representantes:
Estimados padres y representantes, me dirijo a ustedes para explicarles que como docente me encuentro en un proceso de autoformación en cuanto al aspecto de la educación a distancia, o como le denominan el los talleres del INDES: "Educación Remota". La incorporación de mejores y más eficientes estrategias en el proceso de enseñanza de los estudiantes pasa por una etapa de práctica y comprobación que requiere de tiempo (tanto para la adquisición del conocimiento mismo de las técnicas, como para su práctica e implementación). Como han visto desde el principio, se han combinado formas de comunicación asíncronas para la entrega de las clases (el Blog, con apoyo de los videos de terceros, el correo electrónico) con las formas síncronas (consultas directas por Whatsapp y Clases-Chat de Consulta vía Whatsapp). Es importante saber que la filosofía de la "Educación a Distancia" se basa en el concepto de proporcionar al estudiantes los medios para que pueda construir conocimientos, con la ayuda de su docente a través del proceso de retroalimentación distando de la simple estrategia de brindar "clases en línea" (por ZOOM, Google Meet, etc) o grabarse dando clases y enviarles el video a los estudiantes, esto es, por decirlo así, sólo parte accesoria de la estrategia principal, y su implementación se sujeta a las condiciones logísticas tanto de los participantes como del mismo docente para conducir la actividad (recursos, tiempo, planificación académica, entre otros). Es importante destacar que la tecnología se debe adaptar a las condiciones de acceso tecnológico que posee nuestra comunidad educativa. En este sentido se han venido empleando estrategias de bajo consumo de internet (Blogs, Whatsapp, tareas comprimidas en PDF), considerando la situación venezolana en materia de conectividad.
No obstante, las estrategias para la formación de competencias en matemáticas se refuerzan constantemente. Actualmente se agregaron las notas de audio y los videos (cortos) incorporados en el cuerpo de la explicación, con el propósito de aumentar la cobertura en el acompañamiento (asíncrono) al estudiante mientras lee la clase (escucha y mira videos). También se ha incorporado la figura de la "rúbrica", lo cual les permite prepararse con seguridad certeza para la evaluación. De modo que poco a poco se irán mostrando alternativas didácticas, en las que veamos a los alumnos involucrarse más con actividades que combinen su aprendizaje que estimulen la motivación a la exploración de nuevos conocimientos; lo que se quiere es que ellos desarrollen las habilidades matemáticas que necesitan para su futuro desempeño académico en posteriores etapas. Les pido que tengan paciencia y que sigan apoyando a los niños en casa para que continúen adaptándose a este sistema de educación y juntos logremos una exitosa culminación del año escolar. Es muy probable que para el próximo año implemente el uso del aula virtual (en Google Classroom) para organizar las actividades académicas de los estudiantes, sin dejar de lado todo lo desarrollado hasta el momento.
¡Hasta la siguiente entrada!
¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!
M.Sc. Ernesto Vaquero
Matemáticas UEP Kalil Gibrán
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